RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRANSFORMACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS

OBJETIVOS

• Dominar las fórmulas más básicas de una transformación trigonométrica. 

• Reconocer y aplicar correctamente los dos casos de transformación. 

• Utilizar correctamente y en forma eficaz las diversas propiedades.

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Si A = cos2 3,5α +1,5senα − 2sen3α y 2α = π , calcule  2A − 1sec  2 Solución: A = cos2 3,5α + 1,5senα − 2sen3α 2A = 2cos2 3,5α + 3senα − 4sen3α = 1+ cos 7α + sen3α     2A − 1 = cos 7α + cosRpta.: A 2 3 A) −senC B) −cos A C) senB D) senA E) cos A Solución: Como A +B = 360º −2C, entonces 2sen(π− C) M = 2cos(π − C) cosC = senC −cosC cosC = −senC Rpta.: A 6. Si sen10º (cos20º +cos 40º +cos60º +cos80º) = cos2 A y A es un ángulo agudo, calcule tg 3A  .  2  A) 2 + Solución:   B) 2 − C) D) 1 E) 3 3 sen10º (cos 20º + cos 40º + cos 60º + cos 80º ) = cos2 A sen10º (2cos 50º cos 30º +2cos 50º cos10º ) = cos2 A 2sen10º cos 50º (cos 30º + cos10º ) = cos2 A 2sen10º cos 50º (2cos 20º cos10º ) = cos2 A 2sen10º cos10º 2cos 50º cos 20º = cos2 A 2sen20º cos 20º cos 50º = cos2 A sen40º cos 50º = cos2 A cos2 50º = cos2 A ⇒ A = 50º 3A = 3 (50º) = 75º 2 2 ∴ tg 3A  = tg75º = 2 +  2    7. Evaluar la expresión trigonométrica cuyo seno es 0,6. Rpta.: A 5sen 3α .10cos α , donde α es un ángulo agudo 2 2 A) 40 B) 38 C) 39 D) 32 E) 21 3 3 3  ( ) ( ) Solución: E = 5sen 3α 10 cos α = 2 2  25  2sen 3α cos α  = 1 (2cos 40º cos 20º ) = 1 (cos 40º cos 20º ) ⇒ a = 1 4 2 2 Rpta.: C 9. Los lados de un terreno rectangular T miden (40.tg12º.tg78º) metros y 2 2 P =   π  20(sen 10º +sen 80º) metros. Si 125000 5 sen5α − cos + 3α soles es el   2  1 5 2 5 1 5 precio de T ( α es el ángulo determinado por una diagonal y el largo de T), ¿cuál es el precio de un metro cuadrado de T? A) 850 soles B) 500 soles C) 600 soles D) 700 soles E) 800 soles Solución: senα = , cos α = P = 125000 5 (sen5α + sen3α) P = 125000 5 (2sen4α cos α) sen4α = sen2(2α) = 2sen2α cos 2α = 4senα cos α(1− 2sen2α)  Área de T = 40 (20)m2 = 800 m2 Pr ecio de 1 m2 = 480000 = 600 800 Rpta.: C 10. A es un ángulo en posición normal del segundo cuadrante y P es un punto de su lado terminal que dista 3 unidades del origen de coordenadas siendo (−2 2,a) sus coordenadas. Evaluar la expresión 81sen5A + cos π − A  .   2     A) 100 B) 110 C) 322 3 D) 322 9 E) 322 5 Solución: 1 5 2 5 (II) 3 Sea E = sen5A + cos  π − A ⇒ E = sen5A + senA  2    E = 2sen3A cos 2A ⇒ E = 2 (3senA − 4sen3A)(1− 2sen2A) E = 2senA (3 − 4sen2A)(1− 2sen2A) P(−2 2,a) y d(O,P) = 3 (a > 0) 8 + a2 = 9 ⇒ a2 = 1⇒ a = 1, luego, A:P (−2 2,1), d = 3 ⇒ senA = 1 Llevando