ANGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Y SUS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EXPLICACIONES BÁSICAS Y EJEMPLOS PDF
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo trigonométrico está en Posición Normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.
Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina Angulo del Segundo Cuadrante y análogamente para lo otros cuadrantes.
Si el lado final coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante.
Ángulo en posición normal Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x. Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE, y análogamente para los otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE. Ejemplo 1. 2. α ∈ I 90º ∉ a ningún cuadrante β ∈ II φ no está en posición normal θ ∈ III Ángulo cuadrantal Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes. θ β α X Y 0 φ X Y 90º 0 UNIDAD 5 Propiedad Si θ es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: Si θ ∈ I ⇒ 0 < θ < 90º Si θ ∈ I I ⇒ 90º < θ < 180º Si θ ∈ I I I ⇒ 180º < θ < 270º Si θ ∈ IV ⇒ 270º < θ < 360º Ejemplos 1. Si θ ∈ III. ¿En que cuadrante está 2θ/3? Resolución Si: θ ∈ III ⇒ 180º < θ < 270º 60º < 3 θ < 90º 120º < 2 3 θ < 180º ∴ Como 2θ/3 está entre 120º y 180º, entonces pertenece al II cuadrante. 2. Si α ∈ II, a qué cuadrante pertenece 70º 2 α + Resolución Si α ∈ II. ⇒ 90º < α < 180º 45º < 2 α < 90º 115º < 70º 2 α + < 160º Como α/2 + 70º está entre 115º y 160º, entonces pertenece al II cuadrante. IV 90º 270º O II I III 0º 360º 180º Ángulos coterminales Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si tienen el mismo lado final. Ejemplos 1. 2. α ∧ β son coterminales φ ∧ q no son coterminales 3. 4. Propiedad La diferencia de las medidas de dos ángulo coterminales siempre nos dará como resultado un número entero positivo de vueltas. Si α ∧ β son coterminales tal que α > β entonces se cumple: α – β = k(360º) k ∈ ZZ + Ejemplos 1. 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas) 2. 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vuelta) 3. 7π y 3π coterminales porque 7π – 3π = 4π (2 vueltas) 4. 450º y –90º coterminales porque 450º – (–90º) = 540º (No tiene vueltas exactas) Y 410º 50º x x Y -240º 30º θ φ x y Senθ = r y = RADIO VECTOR ORDENADA ⇒ Cscθ = y r = ORDENADA RADIO VECTOR Cosθ = r x = RADIO VECTOR ABSCISA ⇒ Secθ = x r = ABSCISA RADIO VECTOR Tanθ = x y = ABSCISA ORDENADA ⇒ Cotθ = y x = ORDENADA ABSCISA Observaciones 1. En verdad “r” es la longitud de radio vector OP por cuestiones prácticas vamos a denominar a “r” como vector. 2. Para RECORDAR las definiciones anteriores, utilice el siguiente cambio: CATETO OPUESTO = ORDENADA CATETO ADYACENTE = ABSCISA RADIO VECTOR = HIPOTENUSA Ejemplos 1. Hallar “x” θ X Y r P(X; Y) 0 Razones trigonométricas de ángulos en posición normal Si θ es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:
8. Dado el punto (20;-21) correspondiente al lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de: E = Tg + Sec a) 2/5 b) –2/5 c) 1 d) 5/2 e) –5/2 9. Si Csc 0. ¿En qué cuadrante está ?. a) I b) II c) III d) IV e) Es cuadrantal 10. Si II. Hallar el signo de: a) + b) – c) + ó – d) + y – e) No tiene signo 11. Hallar el signo de: E=Ctg432º.Tg2134º.Csc3214º.Sec4360º a) + b) – c) + – d) + – e) No tiene signo 12. Si Sen.Cos > 0. ¿En qué cuadrante está ?. a) I b) II c) III d) I III e) II III 13. Si Sen= II. Hallar Tg. a) b) c) d) e) 14. Si Ctg=0,25 III. Hallar Sec. a) b) c) d) e) 15. Si Ctg2=3270º<
