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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA EXPLICACIONES BÁSICAS Y EJEMPLOS PDF

Línea Seno  (Ordenada del extremo del Arco)
Es el segmento determinado por la perpendicular  trazada  desde el extremo del arco considerado, hacia el eje de abscisas.
Línea Coseno  (abcisa del extremo del arco)
Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de ordenadas.
LÍNEA TANGENTE :
La tangente de un arco en la circunferencia trigonométrica es representada geométricamente mediante un segmento dirigido vertical, correspondiente a la ordenada del punto de intersección del radio prolongado que contiene al extremo del arco y  al eje de tangentes(L T). 


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  • ARCO ORIENTADO Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos arcos poseen un origen y un extremo. CIRCUNFERENCIA CANÓNICA Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen del sistema cartesiano. Estas circunferencias, en la geometría analítica, poseen una ecuación de la forma: x2 + y2 = r2 Donde r es el radio de la circunferencia. ejemplos : CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Es aquella circunferencia con centro en el origen de coordenadas cartesianas (canónica) , cuyo radio es igual a la unidad de escala del sistema que lo contiene. Se pueden notar las siguientes características: Donde: O (0; 0) : centro de la C.T. A (1; 0) : origen de arcos. (0; 1) : origen de complementos. A' (–1; 0) : origen de suplementos. B' (0; –1) : sin nombre especial. LT : eje de tangentes. LC : eje de cotangentes. De la figura: a y q : son arcos dirigidos en posición normal. P : extremo de arco q. Q : extremo de arco a . q : es un arco positivo (sentido antihorario). a : es un arco negativo (sentido horario). ARCO EN POSICIÓN NORMAL Son aquellos arcos orientados en la circunferencia trigonométrica que se generan a partir del origen de arcos siendo el extremo la posición final de dicho arco. A los arcos en posición normal generados en sentido antihorario se les considera positivos , y en sentido horario se les considera negativos. Observando la ubicación del extremo del arco podemos determinar el cuadrante al que pertenece dicho arco. En la circuferencia trigonométrica , la longitud del arco orientado y su correspondiente ángulo central expresado en radianes son numericamente iguales. Así tenemos un arco dirigido en posición normal del sector circular sombreado, se tiene que por longitud de arco . Para una CT (r=1), en consecuencia se cumplirá: Basándose en la anterior relación , se obtendrá : Es importante trabajar los arcos en posición normal en la CT , teniendo en cuenta el extremo del arco , este extremo nos indicará el cuadrante al que pertenece dicho arco. Así por ejemplo en la siguiente figura : A : origen de arcos. MÙ N : extremos de arco. B : Origen de complementos de arco. A' : Origen de suplementos de arco. B' : Anónimo. Además; se cumple que: (en rad) (numéricamente); y debido a esta observación se cumple: Es decir, con esta propiedad fundamental es posible calcular las razones trigonométricas de cualquier numero real, siempre y cuando esta se encuentre definida. El ángulo central correspondiente a un arco en posición normal o estándar tiene una medida en radianes que es igual a la medida del arco en unidades lineales. “q ” y “a ” son arcos en posición estándar tales que: En la siguiente figura de la izquierda , se tiene una recta numérica vertical donde el origen de la recta coincide con el punto A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una sección de un carrete y la recta numérica como un hilo (espesor despreciable) entonces, en la siguiente figura derecha , la parte positiva de la recta se envuelve en sentido antihorario y la parte negativa en sentido horario. Este procedimiento tiene por fin ilustrar al lector que a cada punto de la recta numérica le corresponde un único punto de la CT. Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el extremo de un arco en la CT ya sea para la ubicación de su cuadrante o para las definiciones que se verán más adelante. Así por ejemplo el arco 1 en la CT se relaciona a un ángulo en posición normal 1rad , análogamente el arco p a p rad y el arco –2 a –2 rad . REpresentación de los numeros reales en la circunferencia trigonométrica : Para poder ubicar el extremo del arco 1 se necesita ubicar el ángulo de 1 rad, de forma análoga para el arco 2 el ángulo 2 rad, y así sucesivamente hasta el arco 6. Por ello del segundo capítulo se sabe lo siguiente: 1 rad <> 57°17’44" (aproximadamente) De igual forma podemos obtener: 2 rad <> 114°35' 28" (aproximadamente) 3 rad <> 171 ° 53' 12" (aproximadamente) 4 rad <> 229° 10' 56" (aproximadamente) 5 rad <> 286° 28' 40" (aproximadamente) 6 rad <> 343° 46' 24" (aproximadamente) Del gráfico estos extremos de arcos servirán como referencia para ubicar aproximadamente otros arcos en la C.T. simetrías en la circunferencia trigonométrica La simetría existente entre los extremos de los arcos. Veamos en qué medida nos facilitará en calcular las coordenadas de otros puntos, conocido uno de ellos. ejemplos : Las coordenadas de los extremos de los arcos representados en las siguientes figuras y , tales coordenadas se han obtenido teniendo como referencia los pares ordenados en el primer cuadrante y luego utilizando criterios de simetría respecto al eje de abscisas y al eje de ordenadas. Hasta aquí queda claro que los arcos en la C.T. son números reales, es decir, cantidades sin unidades. También se les suele llamar cantidades adimensionales. Expuesto lo anterior, se debe tener presente que los arcos dirigidos en posición normal no necesariamente pertenecen a determinado cuadrante, puede darse el caso que dichos arcos no pertenezcan a cuadrante alguno. A estos tipos de arcos que se encuentran en posición normal y no pertenecen a cuadrante alguno se les suele llamar ángulos cuadrantales. En los siguientes gráficos , se muestran a los arcos de mayor uso . Ejercicio 1 : Determine cuál de los siguientes puntos pertenece a la circunferencia trigonométrica RESOLUCIÓN: Ejercicio 2 : Ubique gráficamente en la circunferencia trigonométrica los extremos de arcos (en posición estándar). RESOLUCIÓN: Para que los arcos se encuentren en posición estándar en la C.T. esto tendrán su posición inicial en el punto A (1; 0). Ejercicio 3 : Ubicar los siguientes ángulos en la circunferencia trigonométricas: RESOLUCIÓN : representación de los intervalos en la circunferencia trigonométrica ejemplos : representación de las Razones Trigonométricas en la Circunferencia Unitaria En esta parte al referimos a un arco, hacemos la suposición de que este es un arco dirigido en la C.T. en posición normal, es decir, su punto inicial es el origen de arcos A(1;0). En las representaciones siguientes, se han utilizado segmentos dirigidos. Líneas trigonométricas Son segmentos de medida positiva o negativa que van a representar el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o un número cualquiera. En el gráfico, tenemos entonces que: Variación Analítica El seno de un arco q es la ORDENADA de su extremo. En el gráfico, tenemos entonces que: y1 =Sena....(+) ; y2 =Senb...(+) y3 =Senq...(–) Debe notarse además que la L.T. seno puede ser trazada para cualquier arco q, verificándose además: ejercicio 1 : Ubicar el seno de los siguientes arcos: 130° y 310°. Resolución: ejercicio 2 : Ubicar el seno de los siguientes arcos: – 40° y – 200° Resolución: Variación Analítica del Seno : Analizando la C.T. : * C : crece * D: disminuye II) En el grafico, tenemos entonces que: Variación Analítica El coseno de un arco q es la ABSCISA de su extremo. x1 = cosa...(+) x2 = cosb...(–) x3 = cosq...(–) Debe notarse además que la L.T. coseno puede ser trazada para cualquier arco “q”, verificándose: Ejemplos: ejercicio 1 : Ubicar el coseno de los siguientes arcos: 50° y 140° Resolución: ejercicio 2 : Ubicar el coseno de los siguientes arcos: – 70° y – 250° Resolución: Variación Analítica del Coseno Analizando la C.T. : OBSERVACIÓN : Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' () Coordenadas del Extremo de Arco : Las coordenadas de “P” son (x0 ; y0 ),luego se tendrá: Coordenadas Opuestas: Coordenadas Ortogonales: En los siguientes gráficos se muestran los ángulos cuadrantales (en radianes) y las coordenadas de los extremos de estos arcos o ángulos . Luego, identificamos los valores del seno o coseno de estos arcos, relacionando con las ordenadas o abscisas de los puntos A , B , A’ y B’. Rango de valores de la tangente lo cual implica que: La tangente toma cualquier valor La tangente no tiene máximo ni mínimo . SUGERENCIAS : Si Ejemplo 1 : Ejemplo 2 : Ordene de mayor a menor RESOLUCIÓN: Ubicamos , 1 y 3 en la CT. PROPIEDAD PARA PROBLEMAS GEOMÉTRICOS LONGITUDES La longitud de un segmento dirigido es un número real positivo, cuando queramos calcular, la longitud de un segmento dirigido indicamos mediante una llave así: Ejemplo : La circunferencia es trigonométrica, calcular el área del triángulo sombreado. RESOLUCIÓN: Para determinar el área debemos ubicar a la base y la altura del triángulo sombreado: Rpta: “E” Variación de un arco “q” La variación de un arco “q” se representa por un conjunto de flechas (> > > > > ) en la circunferencia trigonométrica. Por ejemplo representar la variación de “a” y “b” en la circunferencia trigonométrica tal que: 30° < a < 70° y 200°£ b £ 250° Variación del seno y coseno de un arco“q” : La variación de seno y coseno de un arco “q” se representa por un conjunto de segmentos inclinados ( / / / / / ) en los ejes coordenados. Del ejemplo anterior, representar la variación “sena” y “cosb”. Variación del seno de un arco “q” : A continuación analizaremos la variación del seno cuando“q” está en cada uno de los cuadrantes. Primer cuadrante : Si: 0° < q < 90°Þ 0 < senq < 1 Segundo cuadrante : Si: 90° < q < 180° Þ 0 < senq < 1 Tercer cuadrante : Si: 180° < q < 270° Þ – 1 < senq < 0 Cuarto cuadrante : Si: 270° < q < 360°Þ – 1 < senq < 0 En general: Si “q” recorre de 0° a 360° entonces el seno de “q” se extiende de – 1 hasta 1. Es decir: Si: 0° £ q £ 360°Þ – 1 £ senq £ 1 máx(senq) = 1 mín(senq) = – 1 Ejemplo 1 : Hallar el máximo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista: senq = 2k – 3 Resolución : Sabemos que – 1 £ £ 1 reemplazamos – 1 £ 2k – 3 £ 1 Þ3 – 1 £ 2k £ 1 + 3Þ2£ 2k £ 4 Þ £ k £ Þ1 £ k £ 2 ­ máx Luego el máximo valor de “k” es: 2. Ejemplo 2 : Si: q Î III, hallar todos los valores enteros de “k” para que la siguiente igualdad exista: Resolución : Si: q Î IIIÞ – 1 < < 0 Þ– 1 < < 0 Þ – 3 < 2k – 7 < 0 Þ7 – 3 < 2k < 0 + 7Þ4 < 2k < 7 Þ < k < Þ2 < k < 3,5 El único valor entero que toma “k” es: 3 Variación del coseno de un arco “q” : A continuación analizaremos la variación del coseno cuando “q” está en cada una de los cuadrantes. Primer cuadrante : Si: 0° < q < 90° Þ 0 < cosq < 1 Segundo cuadrante : Si: 90° < q < 180° Þ – 1 < cosq < 0 Tercer cuadrante : Si: 180° < q < 270° Þ – 1 < cosq < 0 Cuarto cuadrante : Si: 270° < q < 360° Þ 0 < cosq < 1 En general: Si “q” recorre de 0° hasta 360° entonces el coseno de “q” se extiende de – 1 hasta 1. Es decir: Si: 0° £ q £ 360° ® – 1 £ cosq £ 1 máx(cosq) = 1 mín(cosq) =– 1 Ejemplo 1 : Hallar el mínimo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista: cosq = 4k – 5 Resolución : Sabemos que: – 1 £ cosq £ 1 Þ – 1 £ 4k – 5 £ 1 Þ5 – 1 £ 4k £ 1 + 5 Þ 4 £ 4k £ 6 Þ £ k £ Þ 1 £ k £ Luego el mínimo valor de “k” es: 1 Ejemplo 2 : Si: q Î II, hallar todos los valores enteros de “k” para que la siguiente igualdad exista: Resolución : Si: q Î II Þ –1 < < 0 Þ– 1 < < 0Þ– 7 < 3k + 5 < 0 Þ– 5 – 7 < 3k <– 5Þ–12 < 3k <– 5 Þ < k < –Þ – 4 < k < – Los únicos valores enteros que toma “k” son: – 3 y – 2 Resumen : Variaciones:

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