Trigonometría la enciclopedia teoría y problemas resueltos de matemáticas pdf

COORDENADAS POLARES TEORÍA-FÓRMULAS Y EJEMPLOS PDF

OBJETIVOS :  Identificar los elementos de la representación en coordanadas polares: polo, eje polar, ángulo, radio vector.
* Representar puntos con coordenadas polares.
 * Determinar la gráfica y la ecuación de la cardioide en coordenadas polares.
 *Representar curvas usando coordendas polares.
 INTRODUCCIÓN :
COORDENADAS POLARES

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  • Hasta ahora hemos estudiado el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares para localizar un punto en el plano. En este capítulo estudiaremos otro sistema denominado sistema de coordenadas polares el cual ofrece otras ventajas con respectos a la coordenadas cartesianas. En un sistema de coordenadas polares un punto P del plano se le representa por un par de números donde “r” es la distancia del polo al punto dado y donde q es el ángulo de inclinación del radio vector OP con respecto al semi-eje positivo llamado eje polar. coordenadas polares de “P”; para cada punto P del plano existe un conjunto de coordenadas polares. Si el se desplaza en sentido antihorario a partir del eje polar, es positivo y negativo en sentido contrario. La semirrecta que forma con el eje polar un ángulo q se llama eje q. Al polo le corresponde (0;q) donde q es cualquier real. Si , la correspondencia entre puntos del plano y las coordenadas polares es biunívoco. Es decir uno a uno. Si P(r;q) entonces r>0 si P está en el eje q y r0 es Esta fórmula sale aplicando la ley de cosenos en el . Ejemplo: Halle la ecuación polar de la circunferencia de centro y radio 8. RESOLUCIÓN: reemplazando en la fórmula tenemos: ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR EL POLO Ejemplo: Grafique r=5 RESOLUCIÓN: Observaciones: representa la ecuación polar de una circunferencia de radio |a| tangente al eje . supongamos que a>0 representa la ecuación polar de una circunferencia de radio |b| tangente al eje polar. Supongamos que b>0 Ejemplo : Grafique RESOLUCIÓN: ecuacion polar general de una conica Cuando el eje de las abcisas es un eje de la cónica y el eje de las ordenadas es una directriz resulta (x–d)2+y2=e2.x2 , donde e representa la excentricidad y d la distancia a la directriz correspondiente. Podemos efectuar un cambio de ejes coordenados a unos nuevos ejes que tengan el foco de la cónica como origen y el eje de la cónica como eje de las abcisas haciendo x=d+x’ ; y=y’ Obteniendo la siguiente ecuación : x’2+y’2=e2.(x’+d)2 Si ahora tomamos un sistema de coordenadas polares que tenga el foco como polo y el eje de la cónica como el eje polar , tenemos : x’=rcosq ; y’=rsenq Entonces la ecuación queda r2=e2.(rcosq+d)2 que equivale a las dos siguientes ecuaciones : Cualesquiera de estas ecuaciones genera una cónica completa . Para ver esto , igualamos q=q1 en la segunda ecuación , obteniendo : Ahora igualamos q=p+q1 en la primera ecuación , obteniendo r=r1 , los puntos (r1;q1) y (–r1;p+q1) son lo mismo. Por ello , cuaquier punto que puede hallarse por la segunda ecuación puede hallarse también por la primera. Luego es la ecuación polar buscada. en general : Sea e la excentricidad de una cónica cuyo foco está en el polo y a d unidades de la directriz correspondiente. * Si el eje focal coincide con el eje polar , la ecuación de la cónica es de la siguiente forma : * Si el eje focal coincide con el eje normal , la ecuación de la cónica es de la siguiente forma : Si e=1 resulta una parábola Si e1 resulta una hipérbola ejemplos: Como e=1 , entonces se trata de una parábola Como e=1/2 , entonces se trata de una elipse Como e=2 , entonces se trata de una hipérbola DISCUCIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR Para facilitar el trazado de la gráfica de una ecuación en coordenadas polares es conveniente establecer el siguiente análisis. I) SIMETRÍA : A) La curva es simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente ( que no varía ) cuando se sustituye B) La curva será simétrica con respecto al eje p/2 si se obtiene una ecuación equivalente cuando se sustituye C) La curva será simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente ( que no varía ) cuando se sustituye II) INTERCEPTOS CON LOS EJES PRINCIPALES A) Con el eje polar se hace y se resuelve para r. B)Con el eje se hace y se resuelve para r. C) Con el polo se hace r=0 ; y se resuelve para q de aquí salen las rectas tangentes al polo. III) EXTENSIÓN : Si la curva se encuentra encerrada dentro de una circunferencia de radio K. IV) TABULACIÓN : Se determina los valores de r correspondientes a algunos valores asignados a q. Luego se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva. RECTAS TANGENTES EN EL POLO Son rectas que pasan por el origen, cuya forma general es constantes , las que se hallan haciendo r=0 en la ecuación polar, como veremos mas adelante, y resolviendo para q. Por ejemplo , en la gráfica de La dirección de las rectas tangentes se obtienen haciendo r=0 en la ecuación y resolviendo luego para q : Estas dos últimas ecuaciones para q representa a la misma recta: el eje normal Ejercicio 1 : Graficar el siguiente cardioide: RESOLUCIÓN: SIMETRÍAS : Se verifica fácilmente que la gráfica solamente es simétrica respecto al eje polar “x”, pues la ecuación no varía al reemplazar q por – q. por lo tanto será suficiente considerar los valores de q que cubran puntos de la gráfica en el semiplano superior; el resto lo concluiremos por simetría. INTERCEPTOS : Existen 4 puntos de intersección con los ejes principales: RECTAS TANGENTES EN EL POLO: Haciendo r=0 en la ecuación , obtenemos Por lo tanto, la recta es la única recta que pasa por el origen (polo)que es tangente a la gráfica en el polo. EXTENSIÓN : La extensión esta dada por: TABULACIÓN : Cuando q aumenta de 0 a p , cosq disminuye de 1 a –1,y disminuye desde 2 hasta 0. Con todos estos datos procedemos a construir la gráfica: CARDIOIDE : Ejercicio 2 : Grafique: RESOLUCIÓN: Como la ecuación no se altera al reemplazar por la curva es simétrica con respecto al eje polar. Si aplicamos los criterios de simetría vamos comprobar que la gráfica no es simétrica con respecto al polo ni al eje . Veamos los interceptos con los ejes principales si Entonces es una recta tangente al polo. Si tenemos que: Si tenemos que Veamos la extensión: Como la curva se encuentra dentro de una circunferencia de radio 3. Ahora tabularemos: Ejercicio 3: Bosquejar la gráfica de la ecuación polar RESOLUCIÓN: EXTENSIÓN: INTERCEPTOS: SIMETRÍA: Solo existe con respecto al eje normal y , pues la ecuación no varia al reemplazar q por –q y r por –r. RECTAS TANGENTES EN EL POLO: Hacemos r=0 en : Cuando q aumenta de , r aumenta de hasta 2. Cuando q aumenta disminuye de 2 hasta 0, y Cuando aumenta de , r diminuye de 0 hasta – 2. Observación : La gráfica polar de la ecuaciones: se les llama limazón; palabra francesa que proviene del latín Limax que significa caracol. TIPOS DE CARACOLES: De la ecuación : si caracol con un lazo. Si cardioide (forma de corazón) Si (caracol con hendidura) Si (caracol convexo) SIMETRÍA Y DIRECCIÓN DE UN CARACOL : Si 1) Si (simetría con respecto al eje polar apunta hacia la derecha). 2) Si (simetría con respecto al eje polar apunta hacia la izquierda). 3) Si (simetría con respecto al eje apunta hacia arriba). 4) Si (simetría con respecto al eje apunta abajo). Observación : Las gráficas de las ecuaciones de la forma ó es una rosa que tiene n hojas si n es impar y 2n hojas si n es par. Si n=1 sale una circunferencia por eso a la se le considera como una flor de una sola hoja. Ejemplo : La gráfica de : Ejercicio 4: Gráficar la ecuación polar siguiente (lemniscata). RESOLUCIÓN : La gráfica es simétrica respecto al eje polar “x”, al eje normal “y”, y respecto al origen (polo). Los interceptos con los ejes principales son: Para las rectas tangentes en el polo , hacemos r=0 en la ecuación dada: , es decir: y así, estas rectas son: Nótese que de la forma de la ecuación se tiene que los únicos valores posibles para q son tales que: Esto indica que en la región del plano correspondiente a los valores de q entre así como entre no existe gráfica para esta ecuación. La construcción de la gráfica se hace a continuación: INTERSECCIÓN DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES Cuando teníamos dos gráficas determinadas por ecuaciones cartesianas en las variables x, y , para hallar todos los puntos de intersección de sus gráficas simplemente resolvíamos ambas ecuaciones simultáneamente. Sin embargo, cuando se trata de dos gráficas descritas por ecuaciones en coordenadas polares r, q , esta técnica no proporciona necesariamente todos los puntos de intersección de ambas gráficas. Los siguientes dos ejemplos ilustrarán este hecho. Ejemplo 1: Hallar los puntos de intersección de y , para . RESOLUCIÓN: Resolviendo ambas ecuaciones simultáneamente: Obteniendo así el punto de intersección . La otra solución para genera este mismo punto. Sin embargo, como vemos en la figura, existe otro punto de intersección: el polo (origen); pero, no existe ningún par de coordenadas del polo que satisfaga ambas ecuaciones simultáneamente. Recordemos que representan el polo, para cualquier valor de q. por tanto, el polo será un punto de intersección de ambas gráficas , si haciendo r=0 en ambas ecuaciones logramos encontrar al menos un valor q1 para la ecuación (I) y al menos un valor q2 que satisfaga la ecuación polar (II); donde q1 y q2 pueden ser diferentes en general. Es decir, haciendo r=0 en: De este modo, el polo se encuentra en ambas gráficas; en la primera con coordenadas polares (0;0) y en la segunda con coordenadas . Por lo tanto, los dos únicos puntos de intersección son y el polo. NOTA: Todo punto de coordenadas coincide con el de coordenadas . De esto se sigue que si la ecuación de una curva está dada en coordenadas polares de la forma Donde la forma general:, n cualquier entero. Es decir : Por esta razón es que la circunferencia dada por r=1, también esta dada por la ecuación: , también esta representada por la ecuación DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES Consideremos la ecuación de una curva dada por Sabemos que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por: Luego al relacionar con la ecuación de la curva lo escribiremos en la forma. Que son las ecuaciones paramétricas de la curva con parámetro q . Luego calculamos es decir Además se pueden demostrar que: Ejemplo 1: Determinar el valor de la pendiente en: RESOLUCIÓN: ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES : Si es una función continua y no negativa sobre , el área “A” de la región encerrada por la gráfica de la ecuación polar y los rayos y , se obtendrá, así: Calculemos el área dA como si fuera de un sector circular de radio . Entonces de donde el área que corresponde a la región limitada por y los rayos , será : Donde varían en el dominio ó en el dominio , según lo más conveniente. Observación: Antes de pasar a las aplicaciones aconsejamos al estudiante revisar los criterios para gráficar e intersecar curvas polares, como interceptos, simetrías, rectas tangentes en el polo. Ejemplo 1: Determinar el área de la región limitada por: RESOLUCIÓN: TEOREMA : Consideremos dos funciones tales que y sea el sector limitado por los gráficos y las rectas entonces el área de la es expresado por la fórmula: Ejemplo 2 : Hallar el área de la figura limitada por la curva: que está fuera del círculo r=a. RESOLUCIÓN : VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN EN COORDENADAS POLARES El volumen V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la región limitada por la curva y las rectas es dado por la fórmula. Ejemplo : Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva alrededor del eje polar. RESOLUCIÓN: La variación de la integral es desde hasta . LONGITUD DE ARCO DE COORDENADAS POLARES Si f es una función continua en el intervalo cerrado , entonces la longitud de la curva , desde , hasta está expresado por: Ejemplo: Hallar la longitud total de la cardioide RESOLUCIÓN : Como la gráfica es simétrica. Aplicaciones DE LAS COORDENADAS POLARES Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital. Posición y navegación : Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación. Modelado : Los sistemas que presentan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Citemos por ejemplo las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos). Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 senq

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