PROBLEMA 1 :
Siendo: f(x) = 2senx – cosx, halle un valor de "x" de modo que:
f'(x) = 3f"(x)
A) arctan7
B) arctan1/7
C) arctan5
D) arctan1/5
E) arctan1/6
Las funciones trigonométricas son derivadas en todo su dominio * (senx)' = cosx * (cotx)' =–csc2x * (cosx)' = –senx * (secx)' = secxtanx * (tanx)' = sec2x * (csc x)' = –cscxcotx Ejemplos: Propiedades adicionales de derivación y aplicaciones de las derivadas Función compuesta : A partir de la definición de la derivada de una función se pueden hallar las derivadas de las funciones trigonométricas, y a partir de ellas deducir propiedades adicionales. Por ejemplo: Derivada de la F.T.: y = senx Derivada de la F.T.: y = cosx Derivada de la F.T.: y = tanx También podemos derivar funciones, aplicando propiedades generales sobre derivación De manera análoga se puede demostrar las derivadas de las demás funciones trigonométricas; las cuales están resumidas en el cuadro adjunto: Así también se pueden derivar funciones trigonométricas más complejas; ya sea por definición o por propiedades generales. Por ejemplo derive: Teorema : Derivadas de la funciones trigonométricas inversas. Sea m una función derivable : Recta tangente a una curva Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) = 2x3+4x2 – 5x – 3, en un punto de la curva cuya abscisa es 1. RESOLUCIÓN : Calculamos el punto de la tangente para x=1 F(1) = 2(1)3 + 4(1)2–5(1)–3F(1) =–2 ; el punto de la tangencia es (1; –2). Calculamos la pendiente de la recta tangente F(x)=2x3+4x2 – 5x – 3F'(x)= 6x2+8x–5 para Ecuación de la recta tangente: Regla de L'Hospital La regla de L'Hospital reduce la determinación del límite de una función de la forma: ; en los casos de indeterminación de los tipos : , al cálculo del límite de . Evidentemente, si este es también indeterminado de una de esas dos formas, su límite a su vez, se reduce al de y así sucesivamente. Aplicaciones de la Derivada En ésta sección se exponen las aplicaciones de la derivación a problemas del análisis matemático: estudio de la variación de las funciones, máximos, mínimos, concavidad y convexidad de las curvas, puntos de inflexión. Comenzamos con el estudio de números críticos: Definición de Números CríticoS Si una función f esta definida en x0, se dice que x0 es un número crítico de f, si f(x0)=0 ó si f no esta definida en x0. Extremos Relativos Son valores máximos o mínimos de una función en un intervalo. Teorema : Si una función f tiene un extremo relativo en x=x0, entonces x0 es un número crítico de la función f. Funciones Crecientes y Decrecientes ; El criterio de la primera derivada La derivada va ha determinar cuando una función es creciente, pues una derivada positiva implica que la pendiente de la gráfica asciende. Analógamente una derivada negativa implica que la gráfica de la función desciende y una derivada nula en todo un intervalo implica que la función es constante en él. Teorema : Criterio de la primera derivada: Sea x0 un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a x0. Si f es derivable en el intervalo, excepto quizá en x0 se tiene: Si f ' cambia de negativa a positiva en x0, f(x0) es un mínimo relativo de f. Si f ' cambia de positivo a negativa en x0, f(x0) es un máximo relativo de f. Si f ' no cambia de signo en x0, f(x0), no es un mínimo ni máximo relativo . Concavidad y el Criterio de la Segunda Derivada Definición de Concavidad : Sea una función derivable en un intervalo abierto, diremos que la gráfica de f ' es cóncava hacia arriba si f ' es creciente en ese intervalo , y cóncava hacia abajo si f ' es decreciente en el intervalo. Teorema : Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I. Si f ''(x) > 0, para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia arriba. Si f '’(x) < 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Punto de Inflexión Sea f una función cuyas gráfica tiene recta tangente en (x0 ; f(x0)), se dice que el punto (x0 ; f(x0)), es un punto de inflexión si la concavidad de f cambia , de arriba hacia abajo o viceversa en este punto. La gráfica siguiente muestra tres tipos de puntos de inflexión. Teorema : Si(x0 ; f(x0)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces 0 es f ''(xU) = 0 ó f '', no está definida en x0. Ejemplo : Determine los puntos de inflexión y el conjunto de valores para el cual la curva y=1+senx ; 0< x< 2p es cóncava. RESOLUCIÓN : Calculemos la primera y segunda derivada La segunda derivada existe en todos los puntos, calculemos los valores de x para los cuales y''=0 Analicemos los valores obtenidos: Para , tenemos y'' < 0 Para , tenemos y'' > 0 Entonces para , en la curva también existe un punto de inflexión cuyas coordenadas son . Basándose en el estudio realizado es fácil construir la gráfica de la curva. Criterio de la segunda derivada Sea f una función tal que f '(x0)=0, tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a x0. * Si f ''(x0) > 0, entonces f(x0) es un mínimo relativo. * Si f ''(x0) < 0, entonces f(x0) es un máximo relativo. * Si f ''(x0) = 0, se recurre al criterio de la primera derivada. Aproximaciones Cuando un número x tiende a 0, se puede confundir (su valor) con su seno o su tangente; es decir:
