DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS SUS GRÁFICAS Y PROPIEDADES PDF

FUNCIÓN  INVERSA
Si F es una función inyectiva o univalente entonces F tiene inversa, denotada  por F–1 ó F* y definida del modo siguiente:
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  • Si: Para determinar la ecuación de la función inversa de F, se intercambia en la ecuación de dicha función el Y por X y el X por Y, de donde se despeja la variable Y que nos representará la ecuación de F – 1. La función inversa es el conjunto de pares ordenados que se obtiene al intercambiar los elementos de cada uno de los pares ordenados que pertenecen a una función y se representa por ·; así por ejemplo: Sea la función: en donde: y la función inversa es : en donde: Como se podrá apreciar, el dominio de F es el rango de F – 1 y el rango de F es el dominio de F – 1 Es importante aclarar que la función inversa no siempre es función, así por ejemplo: Dada la función: y la función inversa: Se observa que F – 1 no es función debido a que tiene dos pares ordenados (2;–1) y (2;2) con un mismo primer elemento. Por lo tanto, se puede concluir: «Para que una función (F) tenga función inversa F-1, debe ser inyectiva».. Para reconocer gráficamente si una función tiene inversa, en el gráfico de la función se traza una línea horizontal, si dicha línea la corta en un solo punto entonces esta función tiene inversa. Como se observa en este ejemplo, la recta horizontal L corta a la gráfica de la función f(x) en dos puntos; por lo tanto, esta función f(x) no tiene función inversa. En general se puede afirmar que las funciones periódicas no poseen funciones inversas puesto que al trazar la recta horizontal corta a la función en varios puntos. Ejemplo 1 : Hallar la función inversa de las siguientes funciones y decir si es función o no. Resolución: es función no es función Ejemplo 2 : Determine la ecuación de F – 1, si se tiene que: ResoluciOn: Intercambiamos en la ecuación de F el Y por X y el X por Y: Ejemplo 3 : y = f(x) = 3x + 2 : es inyectiva en todo su dominio. cambiamos: y ® x ; x ® y Gráfica de la función inversa En el caso de que gráficamente se determine si una función tiene función inversa, ésta se puede graficar de la siguiente manera: Se traza la recta y=x la cual va a trabajar como un «espejo» que reflejará a la gráfica de la función al otro lado de la recta y=x, siendo este reflejo la gráfica de la función inversa. Así por ejemplo: Se observa que la gráfica de la función F* es simétrica con la función F con respecto a la recta y=x. La gráfica de la función inversa de F, se obtiene reflejando la gráfica de F con respecto a la función identidad (y = x). Se observa De esta observación se deduce que: Como todas las funciones trigonométricas son periódicas , hace que no sean univalentes, en consecuencia no existen sus inversas en sus respectivos dominios , por lo cual se debe restringir el dominio para cada una de ellas, de tal forma que la función sea univalente y por consiguiente exista su inversa. En el siguiente cuadro mostraremos el dominio restringido de cada función trigonométrica para que exista su inversa, y también su rango . FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las funciones inyectivas son importantes porque solo ellas tienen inversa y como es sabido las funciones periódicas no son inyectivas por consiguiente no tienen inversa en todo su dominio. Las funciones trigonométricas forman parte de este grupo de funciones periódicas por consiguiente no tienen inversa en todo su dominio, sin embargo si restringimos estos dominios a intervarios en los cuales las funciones sean inyectivas, se podra determinar sus respectivas inversas las cuales recibiran el nombre de funciones trigonométricas inversas . Los intervalos en los cuáles se restringirán dominios de cada función trigonométrica serán los siguientes: FT : y = Senx; DFT = FT : y = Cosx; DFT = FT : y = Tanx; DFT = FT : y = Cotx; DFT = FT : y = Secx; DFT = FT : y = Cscx; DFT = Así, por ejemplo, sea la función y=Senx Se observa que la recta horizontal L corta a la función f(x) = Senx en más de un punto, por lo tanto no tiene inversa. Ahora restringimos el dominio En la gráfica se observa que al restringir el dominio de la función f(x)=Senx en el intervalo ésta sí posee función inversa. De la misma manera como se ha procedido con la función seno, se restringen los dominios de las demás funciones trigonométricas para que de esta manera tengan función inversa. Las restricciones que se hacen para las funciones trigonométricas son las siguientes: Notación inversa Cuando se tiene la igualdad:(notación directa) y queremos expresar lo que significa . en dicha igualdad , podemos decir: es un arco cuya línea tangente vale Lo cual equivale a: (notación inversa) En general : si: Así , por ejemplo: Las funciones trigonométricas inversas se denotan o representan de la siguiente manera: Luego podemos definir: Definición : Una función trigonométrica inversa es un conjunto de pares ordenados de números reales (x ; y), en los cuales la primera componente X es el valor de alguna razón trigonométrica y la segunda componente Y es el arco cuya razón trigonométrica es X; es decir : y = arc rt(x). Donde: Nota: Si : (a ; b), se cumple: Ejemplo : Calcule n , si: pertenece a la función seno inverso. Resolución: Como: Definición de cada función trigonométrica inversa A continuación definiremos las funciones trigonométricas inversas indicando en cada una de ellas su dominio, rango, gráfica y alguna otra característica importante de la función. I) F.T. Seno inverso o arco seno : Partimos de: y = f(x) = senx tomamos: Df : Rf : [–1 ; 1] Hallamos su inversa: y = senx ¯ ¯ x = seny Þ y = f*(x) = Arcsenx Cumpliéndose además: D*f = Rf : [–1; 1] R*f = Df : Verificándose que: Arcsen(–x) =– Arcsenx Donde: y = arcSen(x) <> x = Sen(y) Dominio: como x = Seny Rango: como y = arcSen(x) - Es continua en todo su dominio. - Es creciente en todo su dominio. - No es una función periódica. - Es una función impar. - Su máximo valor es . - Su mínimo valor es . Ejemplos : II) F.T. coseno inverso o arco coseno: Partimos de: y = f(x) = cosx tomamos: Df : [0; p] Rf : [–1; 1] Hallamos su inversa: y = cosx ¯ ¯ x = cosy Þ y = f*(x) = Arccosx Cumpliéndose además: D*f = Rf : [–1; 1] R*f = Df : [0; p] Verificándose que: Arccos(– x) = – Arccosx + p Donde: y = arcCos(x) <> x = Cos (y) Dominio: como x = Cos y Rango: como y = arcCos(x) - Es continua en todo su dominio. - Es decreciente en todo su dominio. - No es una función periódica. - No es función impar, ni par. - Su máximo valor es p. - Su mínimo valor es 0. Ejemplos : nota : Es importante recordar los signos de las razones trigonométricas. III) F.T. tangente inverso o arco tangente: Partimos de: y = f(x) = tanx tomamos: Df : Rf = < – ¥ ; + ¥> Hallamos su inversa: y = tanx ¯ ¯ x = tany Þ y = f*(x) = Arctanx Cumpliéndose además: D*f = Rf : < – ¥ ; + ¥ > R*f = Df : Verificándose que: Arctan( – x) = – Arctanx Donde: y = arcTan(x) <> x = Tan (y) Dominio: como x = Tany Rango: como y = arcTan(x) - Es continua en todo su dominio. - Es creciente en todo su dominio. - No es función periódica. - Es una función impar. - No tiene ni máximo ni mínimo. - Tiene asíntotas horizontales en Ejemplos : iv) Cotangente inverso o arco cotangente : Donde: y = arcCot(x) <> x = Cot (y) Dominio: como x = Coty Rango: como y = arcCot (x) - Es continua en todo su dominio. - Es decreciente en todo su dominio. - No es función periódica. - No es función impar, ni par. - No tiene máximo ni mínimo. - Tiene asíntotas horizontales en 0 y p. v) Secante inverso o arco secante : Donde: y = arcSec(x) <> x = sec (y) Dominio: como x = Secy Rango: como y = arc sec (x) - Es contínua en todo su dominio. - Es discontínua en . - Es creciente en todo intervalo contínuo de su dominio. - No es función impar, ni par. - Su máximo valor es p. - Su mínimo valor es 0. - Tiene una asíntota horizontal en vi) Cosecante inverso o arco cosecante : Donde: y = arcCsc(x) <> x = Csc(y) Dominio: como x = Csc y Rango: como y = arc csc (x) - Es contínua en todo su dominio - Es discontínua en . - Es decreciente en todo intervalo contínuo de su dominio. - Es una función impar. - Su máximo valor es . - Si mínimo valor es . - Tiene una asíntota horizontal en 0. Debemos tener presente : VALORES PRINCIPALES PARA LOS ARCOS (VP) Se denomina así a aquel valor del arco que satisface una determinada igualdad y que está dentro del intervalo donde se define la función trigonométrica inversa correspondiente; siendo estos intervalos los siguientes: A ) Para el arco seno : Propiedades : Graficando en la C.T. Ejemplos: , como: B ) Para el arco coseno : Propiedades : Graficando en la C.T. Ejemplos: C) Para el arco tangente : Propiedades : Graficando en la C.T. D ) Para el arco cotangente : Propiedades : Graficando en la C.T. E ) Para el arco secante : Propiedades Graficando en la C.T. F) Para el arco cosecante : Propiedades : Graficando en la C.T. Para la solución de los problemas es necesario tener presente algunos valores notables, como los que se muestran a continuación: Ejemplo: Calcule: Resolución: Se sabe que: ; entonces: Se sabe que: ; entonces : Como , entonces: PROPIEDADES FUNDAMENTALES PARA LOS ARCOS A) Arcos complementarios B) Arcos con valores recíprocos C) Diferencia de arcos tangente Donde: x, D) Suma de arcos tangente Donde: Si: Si: Si:

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