Trigonometría problemas resueltos de secundaria y pre universidad

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS MÉTODOS Y EJEMPLOS PDF

¿Qué es resolver una ecuación trigonométrica?
Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita; que verifican la ecuación convirtiéndola en una igualdad absoluta. Pero, debido al carácter periódico de las Funciones Trigonométricas; no sólo se encontrarán una o dos soluciones, sino que generalmente existirá una cantidad ilimitada de soluciones, motivo por el cual se hace necesario el uso de fórmulas que permitan encontrar el conjunto global de soluciones de la Ecuación Trigonométrica, llamada Solución General de la Ecuación Trigonométrica.
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  • Por ejemplo, si tuviéramos que resolver una ecuación sencilla como: estas son sólo dos soluciones; pero si quisiéramos encontrar soluciones adicionales, tan solo tendríamos que sumarle o restarle múltiplos de 360º, de la siguiente manera, a los ya indicados. Esto es: también: es decir: x = ...; – 570º; – 330º; – 210º; 30º; 150º; 390º; 510º; 750º; ... Estas serían sólo algunas soluciones particulares de la Ecuación Trigonométrica, y en lo sucesivo tendremos que aplicar este criterio para determinarlas. (La explicación es por que los ángulos a obtener son coterminales con los primeros) Ecuaciones trigonométricas elementales R.T.(x) = n Para este tipo de ecuaciones se encuentran generalmente dos primeras soluciones; y se les va agregando o restando múltiplos de 360º; como en el apunte anterior. Por ejemplo: ® x = 45°; 135°; ... Pero la pregunta evidente es, ¿cómo determino las dos primeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio. i) Si la E.T. es: R.T.(x) = n; n > 0 Normalmente habrá una solución para x Î IC, aguda; si ésta es "q", entonces la otra solución dependerá del cuadrante en el que se ubique; esto es: Si la solución aguda es: x = q y si hubiera otra en el: IIC ® sería: x = 180° – q IIIC ® sería: x = 180° + q IVC ® sería: x = 360° – q Por ejemplo: tanx = Þ x = 60º Como la “tanx” es positiva, la otra solución debería ser del IIIC, es decir: x = 180º + 60º Þ x = 240º luego: x = 60º; 240º; ...aquí le agregamos o restamos múltiplos de 360º. Aplicación: tanx = 1 Rpta.: x = ...; – 135°; 45°; 225°; 405°; ... Þ x = 60º Como el “cosx” es positivo; la otra solución debería ser del IVC, es decir: x = 360º – 60º Þ x = 300º luego: Aplicación: Rpta.: x = – 330°; – 30°; 30°; 330°; 390°; 690°... cotx = Þ x = 30º La otra solución debe ser del IIIC (ya que “cotx” es positivo), es decir: x = 180º + 30º Þ x = 210º luego: ii) Si la E.T. es: R.T.(x) = n; n < 0 En este caso; resuelva, a modo de ayuda; la ecuación R.T.(x) = |n| y calcule la solución aguda de dicha ecuación. Con esa solución se calculan las verdaderas con la misma idea anterior, sólo que ahora la R.T.(x) es negativa. Por ejemplo: Resolvemos: Pero como el "senx" es negativo, las dos primeras soluciones deberían ser del IIIC y IVC, luego: IIIC: x = 180º + 60º ® x = 240º IVC: x = 360º – 60º ® x = 300º luego: Aplicación: Rpta.:... – 150°; – 30°; 210°; 330°; 570°; ... Resolvemos: Como el "cosx" es negativo en el IIC y IIIC, tendríamos: IIC: x = 180º – 45º Þ x = 135º IIIC: x = 180º + 45º Þ x = 225º luego: Aplicación: Rpta.:x = ... – 210°; – 150°; 150°; 210°; 510°; ... Resolvemos: Como la "tanx" es negativa en el IIC y IVC, tendríamos: IIC: x = 180º – 30º ® x = 150º IVC: x = 360º – 30º ® x = 330º luego: x = 150º; 330º; 510º; 690º; ... Observación: Cuando el valor de la R.T.(x) corresponde al de un ángulo cuadrantal; se debe recordar el cuadro: Por ejemplo: senx = 1 ® x = 90º (note que entre 0º y 360º, no hay otro) cosx = 1® x = 0º; 360º; 720º; ... senx = 0® cotx = 0® cosx = – 1 ® Ecuaciones trigonométricas no elementales Las ecuaciones trigonométricas no elementales son aquellas que operan diferentes razones trigonométricas de la incógnita o de variables que involucran a dicha incógnita. En estos casos, la idea es simplificar la ecuación aplicando toda la teoría del curso ya desarrollado (identidades de una misma variable, de la suma y/o diferencia de variables, de la variable doble, mitad, triple; así como transformaciones trigonométricas y la teoría de funciones trigonométricas inversas); reduciéndola a la forma Elemental o quizás de la forma: R.T.(Bx + q) = n para aplicar lo ya expuesto en la resolución de una E.T. Elemental. Por ejemplo; resolver e indicar algunas soluciones de: tan2x (1 – sen2x)cscx = Por identidades trigonométricas, reducimos: quedaría: note que: cosx ¹ 0 Ù senx ¹ 0 luego: sen3x.cos2x – sen2x.cos3x = 1 Reconozca el desarrollo: sen(a – b) = sena.cosb – senb.cosa luego: Þ senx = 1 Þ x = 90º; 450º; ... En este caso no hay nada que reducir, pues la ecuación tiene la forma Elemental, así que se resuelve de manera similar; pero tenga en cuenta como se despeja la incógnita: 3x = 60° + 15°; 120° + 15°; 420° + 15°; 480° + 15°; ... 3x = 75°; 135°; 435°; 495°; ... Þ x = 25º; 45º; 145º; 165º; ... Þ 5x = 55º; 325º; 415º; 685º; ... Þ x = 11º; 65º; 83º; 137º; ... Tenemos que reducir la expresión, pero recuerde que: sen2q = 2senq.cosq luego: (multiplicando × 2) (otra vez × 2) Þ entonces: 4x = 60º; 120º; 420º; 480º; ... Þ x = 15º; 30º; 105º; 120º; ... Observación : Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones, que tienen que ver con el perder soluciones o agregar soluciones; se mantienen, así que debemos tener cuidado con la simplificación de términos que contienen a la incógnita. 1 + sen2x = senx + cosx En este caso recuerde que: (senx + cosx)2 = 1 + sen2x luego la ecuación, quedaría así: (senx + cosx)2 = senx + cosx cancelando: (senx + cosx) Þ (senx.+ cosx.) = 1 () = 1 sen(x + 45°) = 1 luego: Þ x = 0º; 90º; 360º; 450º; ... ¡pero! para no perder soluciones, el factor cancelado se debe igualar a cero (0) para no perder soluciones, esto es: senx + cosx = 0 senx = – cosx = – 1 Þ tanx = – 1 (x ÎII C Ù IV C) recuerde que primero resuelva: tanx = 1 Þ x = 45º luego las soluciones serían: x = 180º – 45º; 360º – 45º Þ x = 135º; 315º; ..... Senx + Cos2x = 1 En este ejemplo, homogenizamos la variable, esto es, colocamos la expresión en términos de una misma variable (x), para ello recuerde que: cos2q = 1 – 2sen2q luego; quedaría así: senx + 1 – 2sen2x = 1 reduciendo: senx = 2sen2x cancelando: 1 = 2senx Þ Þ x = 30º; 150º; 390º; ... ¡pero! como cancelamos "senx", lo igualamos a cero (0) para no perder soluciones, esto es: senx = 0 Þ x = 0º; 180º; 360º; ... Obtención de la solución general Generalmente vamos a tener que resolver ecuaciones trigonométricas no elementales; así que la idea central es reducir la ecuación dada y llevarla a la forma elemental; para ello es bueno recordar: i) Es preferible una sola variable a diferentes variables ii) Es preferible una R.T. a diferentes R.T. iii) Cancelar términos que involucran a la incógnita en numeradores de miembros diferentes, implica igualarlo a cero para no perder soluciones. iv) Si hay varios senos y/o cosenos de múltiplos muy grandes de la variable; hay una posibilidad de aplicar transformaciones trigonométricas para reducirla. v) Si el valor de la R.T. encontrada no es notable, se aplica la notación de F.T. inversas. Ahora, para la determinación de la solución general; se aplicarán las siguientes fórmulas: donde: xp ® valor principal xg ® es la incógnita o una variable que contiene a la incógnita, de donde se la despeja También se emplean las mismas fórmulas en radianes: Por ejemplo, resolver y dar la solución general de: tenemos: (en sexagesimales) Þ xg = 2x Þ xg = 180ºn + ( – 1)n xp Þ 2x = 180º.n + ( – 1)n30º Þ x = 90º.n + ( – 1)n15º si queremos algunas soluciones, le damos valores enteros a "n". cos3x = 1 tenemos: xp = arccos1 = 0 Þ xg = 3x luego: xg = 360º.n ± xp ® 3x = 360º.n ± 0 Þ x = 120º.n en radianes: xp = arccos1 = 0 Þ xg = 3x luego: xg = 2np ± xp Þ 3x = 2np Observación: Normalmente se trabaja en radianes. Tan5x = 1 tenemos: xp = arctan1 = Þ xg = 5x luego: xg = np + xp Þ 5x = np + tenemos: xg = 3x luego:xg = np + ( – 1)nxp®3x = np – ( – 1)n Sen2x = senx En este caso habría que reducir la ecuación, para ello recuerda que: sen2b = 2senb.cosb en la expresión: sen2x = senx Þ 2senx.cosx = senx cancelando "senx" queda: 2cosx = 1 Þ Þ Þ xg = x Þ pero el factor cancelado se iguala a cero, esto es: senx = 0 ; xp = arcsen0 = 0 Þ xg = x Þ x = np + ( – 1)n xpÞ x = np luego la solución general es: Sen5x = Senx aplicamos transformaciones trigonométricas de esta manera: ; recuerde: 2sen2x.cos3x = 0Þsen2x.cos3x = 0 en este caso, cada factor se iguala a 0; así: sen2x = 0; xp = arcsen0 = 0 Ù xg = 2x 2x = np + ( – 1)n xp Þ 2x = np cos3x = 0; xp = arccos0 = Ù xg = 3x 3x = 2np ± xp Þ 3x = 2np ± Þ luego la solución general es: INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver inecuaciones trigonométricas no hay reglas establecidas ni métodos que se apliquen a todas las inecuaciones, por esta razón es conveniente analizar algunos ejemplos que nos permitan tener una idea de como se podrían resolver otras inecuaciones. A) Resolver : Método 1: Usando la circunferencia trigonométrica Primero resolvemos la ecuación (soluciones básicas) Ubicamos estos valores en la C.T. y luego de acuerdo a la relación dada se ubica en qué parte de la C.T. se verifica dicha relación. Observa del gráfico que si Para hallar la solución general se suma a cada extremo. Método 2: Usando las gráficas de las funciones Graficamos ambas funciones Determinamos las abscisas de los puntos de intersección. Del gráfico se deduce en que parte se cumple la relación dada: Solución General: ¡ RESUMEN ! Ecuaciones Trigonométricas Son igualdades condicionales que presentan funciones trigonométricas ligadas a una variable angular y se cumplen para un conjunto de valores angulares que hace posible la igualdad original. Ejemplos: Valor Principal de una Ecuación Trigonométrica Elemental (V.P) Sea la ecuación trigonométrica elemental: F.T. (AX + B) = N V.P. = arc F.T.(N) Donde: Ejemplos de ecuaciones trigonométricas elementales y su valor principal respectivo. Para el seno y cosecante usaremos: Para la tangente y cotangente: Para la secante y coseno: Donde: qG : expresión general de los arcos qP : valor principal del arco n : número entero EJEMPLO 1: Resolver : Resolución : EJEMPLO 2 : Resolver : Resolución: EJEMPLO 3 : Resolver Resolución:

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