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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS II Y CONDICIONALES PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Las identidades trigonométricas son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.

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  • Objetivos : * Conocer las relaciones básicas entre las razones trigonométricas de una cierta variable. * Aplicar las relaciones anteriores en la simplificación de expresiones que contienen razones trigonométricas diversas; de una cierta variable. INTRODUCCION : Este capítulo por ser amplio e importante y que va a servir como base para capítulos posteriores, está considerado como clave dentro de esta asignatura. + La igualdad: (x – 3) (x +3) = 0, es cierta si y solamente si, cuando: x = 3 ó x = – 3 Este tipo de igualdad se denomina “Ecuaciones Condicionales” + En cambio la igualdad: (x + 3) (x – 3) x2 – 9, se cumple para todo valor de “x”. Este tipo de igualdad se denomina “Identidades” + Para indicar una identidad usaremos el símbolo “” que se lee: “idéntico a” + Recuerde que no existe la división entre cero porque toda expresión matemática entre cero no existe . identidades trigonométricas Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razón trigonométrica existente en la igualdad. Se clasifican en: I) identidades trigonométricas Recíprocas : II) identidades trigonométricas POR DIVISIÓN : III) identidades trigonométricas PITAGÓRICAS : Los problemas que se presenten, son de tipo demostración; simplificación, condicionales y eliminación de variables; pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución del problema.. Al resolver ejercicios y problemas sobre identidades trigonométricas es recomendable tener en cuenta lo siguiente: a) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que se relacionan directamente, entonces es recomendable trabajar con dichas relaciones. b) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que no se relacionan directamente, entonces se sugiere escribir los términos de la expresión en función del seno y coseno. identidades trigonométricas AUXILIARES : Verso de x : Ver x = 1 – cosx Coverso de x : Cov x = 1 – senx Exsecante de x : Ex secx = secx – 1 Ejercicios tipo demostración Demostrar una identidad, implica que el primer miembro se pueda reducir al segundo miembro o viceversa o que cada miembro por separado se pueda reducir a una misma forma. La verificación de identidades se efectúa usando las diferentes transformaciones tanto algebraicas o trigonométricas. No existe desgraciadamente una regla única que sirva como norma para verificar identidades. Por lo general de los dos miembros se procura reducir del más complicado al más simple; en efecto, el estudiante debe tener presente la expresión a la que pretende llegar; pensar en todas las relaciones fundamentales (identidades) y seleccionar aquellas que le permitan obtener la expresión deseada. EJEMPLO : Demostrar que: tan2x.cosx.cscx = tanx Resolución: En este problema, la idea es reducir el miembro de la igualdad más complicada y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar: En el problema: tan2x.cosx.cscx = tanx; note que: Reduciendo: Ejercicio tipo simplificación : Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas. EJEMPLO : Simplificar: Resolución: Vamos a colocar la expresión en términos de senos y cosenos; así: Ejercicios tipo condicional : Hallar fácilmente lo que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión pedida. EJEMPLO : Sabiendo que: tanx + cotx = 4; calcular: Resolución: Pasando a senos y cosenos: operando: Ejercicios tipo eliminación angular : Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. EJEMPLO 1 : Eliminar "x", si: tanx = a; cotx = b A) a2 + b2 = 1 B) a2 – b2 = 1 C) a2 + b2 = 2 D) a2 – b2 = 2 E) ab = 1 Resolución: Los problemas de eliminación de variable; permiten encontrar relaciones entre los parámetros diferentes de la variable a eliminar que intervienen en el problema. Este problema, es el caso más simple, ya que se conocen dos razones trigonométricas de la variable "x"; y lo único que haremos es buscar una relación entre estas R.T. Tenemos: tanx = a Ù cotx = b Sabemos: tanx.cotx = 1Þ ab = 1 EJEMPLO 2 : Eliminar "x", si: Resolución: Obviamente, las condiciones actuales, son muy diferentes a las anteriores; pero la idea es la misma: buscar relaciones entre los datos. De (1): secx + cscx = m; pasando a senos y cosenos: ; pero: senx + cosx = n reemplazando: busquemos ahora: senx.cosx como: En (3): Reducir: A) 1 B) senx C) cosx D)senx.cosx E) secx.cscx Resolución: Pasando a senos y cosenos: operando: ; pero: reemplazando: Rpta : “D” Simplificar: A) tanx B) cot2x C) cotx D) tan2x E) 1 Resolución: Vamos a colocar toda la expresión en términos de senos y cosenos; así: Operando y ordenando: reduciendo: Rpta : “E” Reducir: A) tanx B) secx C) 2secx D) 2tanx E) 2 Resolución: Si bien, el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizado; no siempre es necesario tales cambios; sino también el manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema,operando: reduciendo: Rpta : “D” Reducir: A) 1 B) 0 C) senx D) senx – 2cosx E) – cosx Resolución: En muchos problemas; el uso de los productos notables es necesario para simplificar expresiones; siendo estos casos, importante, la adaptación de las propiedades algebraicas a la expresión trigonométrica a analizar. En el problema , tenemos que: a2 – b2 = (a + b)(a – b) En la expresión: pero: Luego: note: reduciendo: Rpta : “C” Si: Calcular: E = secx.cscx Resolución: En estos problemas con condición; es ideal relacionar dato con incógnita; para decidir que expresión se reduce primero. En el problema, trabajamos en el dato , pasando a senos y cosenos: , operando: factorizando "senx": Reduciendo: Luego; en la expresión pedida: Rpta : “B” Siendo: secx.cscx = 4cotx; ; calcular "x" a)135° b)120° c) 150° d)127° e) 143° Resolución: En la condición; pasando a senos y cosenos: reduciendo: como Con la ayuda de una C.T.; note:cos60° = como: Rpta : “B” Siendo: tanx + cotx = 3; calcular: H = tan2x + cot2x a)3 b)9 c) 5 d)7 e) 11 Resolución: A partir del dato: tanx + cotx = 3 elevando al cuadrado: (tanx + cotx)2 = 32 Rpta : “D” Siendo: ; calcular: N = tanx + cotx a) 16 b) 14 c) 7 d) 4 e) 8 Resolución: Recuerde que: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) En la condición: sen3x + cos3x = (senx + cosx)(sen2x – senx.cosx + cos2x) Luego: Reduciendo: Piden: operando: Rpta : “E” Eliminar "x", si: secx = m; cscx = n A) m2 + n2 = 1 B) m2 – n2 = 1 C) m2 + n2 = m2n2 D) m2 + n2 = mn E) m2 + n2 = 2 Resolución: De las condiciones: Pero: sen2x + cos2x = 1 operando: Rpta : “C” Eliminar "x", si: 3senx + cosx = m senx – 3cosx = n A) m2 + n2 = 5 B) m2 + n2 = 10 C) m2 + n2 = 15 D) m2 + n2 = 20 E) m2 + n2 = 25 Resolución: Si bien en algunos casos, es posible encontrar relaciones entre las R.T. que intervienen; en otros es bueno relacionar las expresiones en su conjunto. Por ejemplo en las expresiones: (I) + (II): Rpta : “B” Simplificar: A) sen2x B) 2senx C)cos2x D) 2cos2x E)tanx Reducir: A) 1 B) cosx C)tanx D) secx E) cscx Simplifique: A) senx B) cosx C)csc x D) secx E) cotx Reducir: A) 1 B) csc2x C) sec2x D) secx.tanx E)cscx.cotx Simplificar: A) senx.cosx B) tanx C) cotx D) secx.cscx E) 1 Reducir: A) 1 B) senx C)0 D)–senx E) 2cosx Simplificar: A) tanx B) tan2x C)cot2x D) cotx E) 1 Reducir: A) 1 B) 3 C) 5 D) 10senx.cosx E) 8senx.cosx Si: secx + cscx = 4(senx + cosx) Calcular: a)1/4 b)3/4 c)5/4 d)7/4 e) 3/2 Si: tanx – cotx = 2 Calcular: a)4 b)2 c)6 d)8 e) 16 Si: Calcular: tanx + cotx a)3 b)4 c)6 d)8 e) 12 Eliminar "x", si: senx = a cosx = b A) a2 + b2 = 2 B) a + b = 1 C) a – b = 1 D) a2 – b2 = 1 E) a2 + b2 = 1 Eliminar "x", si: cscx = m tanx = n A) n2(m2 + 1) = 1 B) m2(n2 + 1) = 1 C) m2 - n2 = 1 D) m2(n2 - 1) = 1 E) n2(m2 – 1) = 1 Eliminar "x", si: tanx + cotx = a tanx – cotx = b A) a2 – b2 = 1 B) a2 – b2 = 2 C)a2 – b2 = 4 D) a2 – b2 = ab E) a2 + b2 = ab Eliminar "x", si: tanx + cotx = m tan2x + cot2x = n A) m2 – n = 1 B) m2 – n =2 C)m2 – n2 = 2 D) m2 + n =2 E) m2 + n = 1 Simplificar: A) senx B) sen2x C)cosx D) cos2x E)cos3x Reducir: A) 1 B) tanx C)cscx D) secx E) cotx Simplifique: A) 1 B) cosx C)senx D) secx E) cscx Reducir: A) senx.cosx B) sen2x C) cos2x D) sen4x E) cos4x Simplificar: A) tan2x B) cot2x C) 1 D) tan4x E) cot4x Reducir: A) 1 B) senx C) senx + 2cosx D) cosx E) 2cosx Simplificar: A) cotx B) tanx C) cot2x D) tan2x E) 2cotx Reducir: A) 6 B) 9 C) 13 D) 12senx.cosx E) 24senx.cosx Si: tanx + cotx = 3 Calcular: a)1/3 b)2/3 c)7/3 d)4/3 e) 5/3 Si: tanx + cotx = 3; calcular: a) 15 b) 16 c)18 d) 21 e) 27 Si: Calcular: A)1/7 b)1/8 c) 1/4 d)2/7 e)1/2 Eliminar "x", si: tanx = m secx = n A) m2 + n2 = 2 B) m2 – n2 = 1 C) n2 + m2 = 1 D) n – m = 1 E) m + n = 1 Reducir: A) secx B) cscx C)tanx D) cotx E) senx Si: tanx – cotx = 2 ; calcular: a)8 b)6 c)12 d)21 e) 27 Si: ; "x" es un ángulo agudo, calcular: “cotx” Si: tanx + cotx = 3 Calcular: tanx.sen2x + cotx.cos2x Si: Calcular: sec2x + csc2x a)3 b)4 c)5 d)6 e) 9 Si: Calcular: C = 2a + b a)1 b)2 c)4 d)6 e) 8 Eliminar "x" de: A) n(m2 + 1) = 2 B) n(m2 – 1) = 2 C) n(1 – m2) = 2 D) m(n2 + 1) = 2 E) m(n2 – 1) = 2 Si: sec2x + csc2x = 6 Calcular: Eliminar "x" de: A) a = b(1 – a2) B) 2a = b(1– a2) C) a = (1 + b)2 D) 2a = (1 + b)2 E) 2b = (1 + a)2 Si : Tg a – Ctg a = 4 Calcular A) 256 B) 264 C) 282 D) 322 E) 324 Demostrar que: Reducir: A) 1 B) senx C) cosx D)senx.cosx E) secx.cscx Simplificar: A) tanx B) cot2x C) cotx D) tan2x E) 1 Reducir: A) tanx B) secx C) 2secx D) 2tanx E) 2 Reducir: A) 1 B) 0 C) senx D) senx – 2cosx E) – cosx Si: Calcular: E = secx.cscx Siendo: secx.cscx = 4cotx; ; calcular "x" a)135° b)120° c) 150° d)127° e) 143° Siendo: tanx + cotx = 3; calcular: H = tan2x + cot2x a)3 b)9 c) 5 d)7 e) 11 Siendo: ; calcular: N = tanx + cotx a) 16 b) 14 c) 7 d) 4 e) 8 Eliminar "x", si: secx = m; cscx = n A) m2 + n2 = 1 B) m2 – n2 = 1 C) m2 + n2 = m2n2 D) m2 + n2 = mn E) m2 + n2 = 2 Eliminar "x", si: 3senx + cosx = m senx – 3cosx = n A) m2 + n2 = 5 B) m2 + n2 = 10 C) m2 + n2 = 15 D) m2 + n2 = 20 E) m2 + n2 = 25 Reduce: (Rpta.: 0) Reducir: (Rpta.: tan3x) Simplifique: (Rpta.: ) Simplifique: (Rpta.: ) Simplifique : (Rpta.: 2) Siendo: (Rpta.: x = 150°) Si : secx + cscx = n(senx + cosx); hallar: senx.cosx (Rpta.: 1/n) Si: tanx – cotx =3 Calcular: tan2x + cot2x (Rpta.: 11) Siendo: ; calcular: tan2x + cot2x (Rpta.: 6) Eliminar "x", si: tanx = a; secx = b (Rpta.: b2 - a2 = 1) Eliminar "x", si: secx = a; senx = b (Rpta.: a2(1 - b2) = 1) Eliminar "x", si: 2senx + cosx = a senx - 2cosx = b Elimine "x", si: senx + cosx = m ; tanx + cotx = n (Rpta.: n(m2 - 1) = 2) Reducir: A) Csc x B) Sec x C) Ctg x D) Tg x E) 1 Simplificar: A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4

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