Razones trigonométricas ejemplos y ejercicios resueltos

Razones trigonométricas de un ángulo agudo en el triángulo rectángulo

EJERCICIO 1 :
El perímetro de un triángulo rectángulo es 180 m. Si se sabe que la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. 
Calcular su hipotenusa . 
A) 13 
B) 26 
C) 39 
D) 78 
E) 82 
EJERCICIO 2 :
El perímetro de un triángulo rectángulo es 338 m y la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. 
¿Cuánto mide el cateto menor? 
A) 13 m 
B) 56,3 m 
C) 46,3 m 
D) 36,3 m 
E) 65,3 m 
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO 

𝐑𝐚𝐳ó𝐧 𝐭𝐫𝐢𝐠𝐨𝐧𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚: 

Es el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo. 

Cateto Opuesto 

Hipotenusa 

Cateto Adyacente 

 𝐬𝐞𝐧 𝛂 𝐜𝐨𝐬𝛂 4 3 → 5 ; 4 3 5 5 4 ; 5 ; 4 ; 3 ; 3 Cateto Opuesto Cateto Adyacente = 𝐭𝐚𝐧𝛂 Entonces : “6 razones trigonométricas” Cateto Adyacente Cateto Opuesto = Hipotenusa Cateto Adyacente = 𝐜𝐨𝐭𝛂 𝐬𝐞𝐜𝛂 Cateto Adyacente Cateto Opuesto α Hipotenusa Hipotenusa Cateto Opuesto = 𝐜𝐬𝐜𝛂 De donde: Ejemplos: I.- Ejemplos: 1.- (C.A) 1 3 (C. O) 2.- Si tanβ = 7 , calcule 4 3(senβ) Resolución: De la figura calcule secθ Resolución: H 7 tanβ = C. O C. A recordar que secθ = C. A Aplicando Pitágoras : Nos falta la hipotenusa, por lo tanto aplicamos Pitágoras para hallarla. ∴ 12 + 32 = x2 2 2 x2 = + x2= 5 + 7 → x2= 12 10 = x2 → 10 = ∴ x = 10 reemplazando: secθ = 10 = 10 1 reemplazando: Aplicaciones: I Si cosθ = Resolución: 3 , calcule cscθ + cotθ II Dado el triángulo rectángulo ABC recto en C, cuyo perímetro es de 90 m y la tangente de uno de sus ángulos agudos es 5/12. Determine el valor del cateto de longitud mayor. Resolución: Dato: Aplicamos el teorema de Pitágoras para 5 𝐤 tanθ = 12 𝐤 C. O C. A 12k 2 hallar x: x2 + x x2 θ 2 = 22 + 3 = 4 x2 = 1 → x = 1 5k Por Pitágoras: → 12k 2 + 5k 2 = x2 144k2 + 25k2 = x2 3 169k2 = x2 → = x2 → 169. = x reemplazando: ถcscθ+ ถcotθ= 2 + 3 Además: perímetro = 90 ∴ x = 13k 2 3 ∴ 13k + 12k + 5k = 90 → 30k = 90 → 𝐤 = 𝟑 1 1 El cateto mayor es 12k ∴ 12 𝟑 = 36 Resolución: 𝜃 𝟐 𝟏𝟎 ⊿ 𝐷𝐴𝐵: 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠 → 102 +52 = (𝐷𝐴)2 100 + 25 = 𝐷𝐴 2 125 = (𝐷𝐴)2 125 = → 25.5 = 𝐷𝐴 Recordar: 1 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜: 5 𝑠ถ𝑒𝑐𝜃 + 𝑐ถ𝑡𝑔𝛼 + ¡Ahora te toca a ti! I.- 𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑆𝑖 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 3 4 ; ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 Hipotenusa CLAVES DEL TEST: A,B,C