REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS PDF

CASOS DE REDUCCIÓN  AL PRIMER CUADRANTE 
En los ejemplos anteriores se ha notado que efectivamente las razones trigonométricas de su respectivo ángulo de referencia en algunos casos difieren en el signo. Para hacer cálculos directos vamos a citar los siguiente casos :
* Cuando se trata de ángulos positivos menores a una vuelta 
* Cuando se trata de ángulos positivos mayores a una vuelta 
* Cuando se trata de ángulos negativos 
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  • i) Reducción para ángulos positivos menores a una vuelta Todo ángulo positivo menor a una vuelta se puede descomponer como un ángulo cuadrantal más o menos un ángulo agudo, dependiendo del cuadrante al que pertenece , se recomienda tener en cuenta las siguientes sugerencias: i) Mantener la misma razón trigonométrica si el ángulo está próximo al eje horizontal, esto es , cuando el ángulo es de la forma (p ± x) ó (2p± x ). II) Reducción para ángulos positivos mayores a una vuelta : Si a un ángulo positivo “q” mayor que una vuelta lo dividimos entre 360° nos da como cociente “n” y residuo “a” es decir: q = n(360°) + a Las razones trigonométricas de “q” y las razones trigonométricas de “a” son iguales. R.T. [n(360°) + a] = R.T. (a) Es decir para este caso bastará con dividir el ángulo entre 3600 o su equivalente 2p rad, para finalmente tomar la misma razón trigonométrica al residuo o arco sobrante. Si el residuo no pertenece al primer cuadrante, deberá utilizarse la reducción explicada en el item anterior. Si el residuo es menor que 90° (p/2 rad) el problema habrá concluido. iii) Reducción para ángulos negativos Para reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de un ángulo negativo, primero pasaremos de ángulos negativos a positivos, para lo cual se deberá tener en cuenta las siguientes propiedades: Si q es un ángulo positivo, entonces – q es un ángulo negativo como se muestra en el gráfico siguiente . I) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE Ángulos complementarios : Si dos arcos que sumados algebraicamente dan un cuadrante, se dice que son arcos complementarios. En consecuencia: «La razón trigonométrica de un arco es igual a la co-razón trigonométrica de su complemento». Ejemplos: II) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE Ángulos suplementarios : Si dos arcos que sumados algebraicamente dan dos cuadrantes, se dice que son arcos suplementarios. En consecuencia: «La razón trigonométrica de un arco es igual a ± la razón trigonométrica de su suplemento». ObjetivoS: Ejemplo 1 : El ángulo de referencia de 40° es 40° Ejemplo 2 : El ángulo de 120° es 60° Ejemplo 3 : El ángulo de referencia de 200° es 20° Ejemplo 4 : El ángulo de referencia de 310° es 50° Propiedad Fundamental Si q es un ángulo positivo normal menor que una vuelta y qR su ángulo de referencia, entonces se cumple que las R.T. de q y los R.T. de qR va a tener los mismos valores y en algunos casos difieren en el signo , es decir: Ejemplo 1 : Para determinar el signo (+) ó (–) se asume x como agudo (así no lo sea). Con el único fin de determinar el signo (ver figura adjunta) . Las razones trigonométricas de los ángulos anteriores se reducen a razones trigonométricas de (x). Aplicando la siguiente fórmula: R.T. (180° – x) = ±R.T (x) R.T. (180° + x) = ±R.T. (x) R.T. (360° – x) = ±R.T. (x) R.T. (360° + x) = R.T.(x) El signo ± depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo que queremos reducir. Ejemplos : ii) Cuando el ángulo es de la forma: se dice que el ángulo se aproxima al eje vertical; en tales circunstancias, de la razón trigonométrica dada se deberá pasar a la Co-razón trigonométrica. En todos los casos, se considera «x» como ángulo agudo. Si “x” es un ángulo agudo, es fácil darse cuenta que: Las razones trigonométricas de los ángulos anteriores se reducen a R.T. de (x) aplicando la siguiente fórmula: R.T. (90° – x) = CO - RT(x) R.T. (90° + x) = ± CO - RT(x) R.T. (270° – x) = ± CO - RT(x) R.T. (270° + x) = ± CO - RT(x) El signo ± depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo que queremos reducir Ejemplos : iii) El signo que tendrá la operación de reducción será el mismo que posee la razón trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece el ángulo. Ejemplos : Ejercicio 1 : Reduzca al primer cuadrante: Sen 110° Resolución: Sen 110° = Sen (180° – 70°) ? Sen 70° A continuación, el signo se consigue a partir del siguiente hecho: OTRA FORMA : Sen 110° = Sen (90° + 20°) ? Cos 20° Enseguida determinamos el signo apoyándonos en el hecho de que: ejercicio 2 : Calcule: Cos 1°+Cos 20 + Cos 30 + ...+Cos 1790 +Cos 1800 Resolución: Aplicando lo visto en la teoría sobre ángulos suplementarios, tendremos: Luego de hacer las simplificaciones indicadas, tendremos: conclusión : Por ejemplo: Aquí se observa que si a un ángulo de una razón trigonométrica se elimina el número entero de vueltas que contiene, el valor de dicha razón no varía . Ejemplo 1 : Reducir al primer cuadrante Sen400° RESOLUCIÓN : Recuerda que si un ángulo positivo q mayor que una vuelta lo dividimos entre 360° nos da como cociente “n” y residuo a. Es decir : La R.T. de q y los R.T. de a son iguales por tanto : Dividimos 400° entre 360° , para obtener el número de vueltas que tiene el ángulo . Es decir : sen (400°)=sen(360°+40°)=sen40° MÉTODO PRÁCTICO : En este caso se elimina la mayor cantidad de vueltas posibles que contiene el ángulo original y se procede de esta forma : Donde : * q cociente (# de vueltas a eliminar) * q : residuo (ángulo coterminal con a) Note que de la división, es el residuo el ángulo que reemplazara al ángulo original . Este cambio tiene sentido toda vez que este ángulo (residuo) es coterminal con el original , y por lo tanto sus razones trigonométricas son iguales . ejemplo 2 : Ejemplo 3 : Calcular : Sen 750° RESOLUCIÓN : Ejemplo 4 : Calcular : Cos540° RESOLUCIÓN : Ejemplo 5 : Calcular : Tan 900° RESOLUCIÓN : Ejemplo 6 : Reducir al primer cuadrante : Sen3010° RESOLUCIÓN : Ejemplo 7 : Reducir al primer cuadrante : Cos4910° RESOLUCIÓN : Ejemplo 8 : Reducir al primer cuadrante : Tan 10000° RESOLUCIÓN : Ejemplo 9 : Reduzca al primer cuadrante: I) Sen 1990° II) Tan 5555° Resolución: I) Dividimos 1990° entre 360° para obtener el número de vueltas que tiene el ángulo II) Dividimos 5555° entre 360° para obtener el número de vueltas que tiene el ángulo . mas ejemplos : conclusión : En este caso al ángulo original se le anula el mayor número de vueltas posibles y nos quedamos con el resto, así: Para eliminar las vueltas, se divide el ángulo (en grados sexagesimales) entre 360°, descartando el cociente (las vueltas) y tomando el residuo. Así por ejemplo: Ejemplos : * sen1500° = sen60° tan2580° = tan60° * A qué es igual: sen(36p + x) * A qué es igual : tan(14p – x) Calcular el seno, coseno y Tangente de q y – q y obtenemos : Análogamente : NÓTESE que para el coseno y la secante el ángulo negativo es indiferente . Ejemplos : Sen(–130°)=–Sen130° = – Sen(180°– 50°) =– (+Sen50°) = –Sen50° Cos(–200°)=Cos200° = Cos(180° + 20°) = – Cos20° Tan(– 325°)=–Tan325° = – Tan(360° – 35°) = – (–Tan35°) = Tan35° Note en que casos se elimina el signo y en cuáles se saca el signo. IV) Expresiones de la forma: R.T.(90°.n ± q); n Î Z En este caso procederemos de la siguiente manera: El signo () dependerá del cuadrante en que se ubique el ángulo original y la R.T. pedida (asume que “q” es agudo) Ejemplos : Si son suplementarios entonces : Análogamente : Ejemplos: * Sen130° = Sen50° porque: 130°+ 50° = 180° * Cos110° = – Cos70 porque: 110°+ 70° = 180° * Tan140° = – Tan40° porque: 140° + 40° = 180° nota s : Sólo positivos(+) es tangente y cotangente. Ejemplos: Sólo positivos(+) en coseno y secante. Ejemplos: RECORDAR: En el IIC; IIIC; IVC , las demás presentan signo negativo. VALORES NOTABLES A continuación presentamos algunos valores notables:

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