TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS DE PRODUCTO A SUMA O RESTA EJERCICIOS RESUELTOS PDF

DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar mediante una suma o diferencia un determinado producto.
Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos.
Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales.
Considerando:
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  • En esta parte del curso veremos las identidades de transformación, las cuales nos permitirán simplificar expresiones de un modo más directo, para su demostración recurriremos a las identidades de los arcos compuestos. Las cuales serán resumidas para dar origen a estas nuevas identidades que son mucho más directas en la resolución de situaciones problemáticas, tal como veremos en el desarrollo del tema. “Cuando se desdobla el doble producto de seno por coseno se tiene que si el primer ángulo es el mayor entonces se obtiene una suma de senos y si el primer ángulo es menor se obtiene una diferencia de senos”. Ejemplos: 2Sen3xCosx= Sen(3x + x) + Sen(3x– x) = Sen4x + Sen2x 2SenxCos2x= Sen(2x + x) – Sen(2x – x) = Sen3x – Senx 2Cos3xCos2x=Cos(3x + 2x)+Cos(3x– 2x) = Cos5x + Cosx 2Sen5xSenx = Cos(5x – x) – Cos(5x + x) = Cos4x – Cos6x 2Sen40°Cos20°=Sen(40°+20°)+Sen(40°– 20°) = Sen60° + Sen20° 2Sen10°Cos40°=Sen(40°+10°)–Sen(40°– 10°) = Sen50° – Sen30° 2Cos50°Cos20°=Cos(50°+20°)+Cos(50°– 20°) = Cos70° + Cos30° 2Sen70°Sen10°=Cos(70°–10°)–Cos(70°+ 10°) = Cos60° – Cos80° I) Producto de senos y cosenos: Demostración : Partimos de: sen(b + q) = senb.cosq + senq.cosb sen(b – q) = senb.cosq – senq.cosb sumando: sen(b + q) + sen(b –q) = 2senb.cosq es decir: 2senb.cosq = sen(b + q) + sen(b – q) 2senx.cosy = sen(x + y) + sen(x – y) Ejemplos: 2sen3x.cosx =sen(3x + x) + sen(3x – x) = sen4x + sen2x 2sen10º.cos2º =sen(10º + 2º)+ sen(10º – 2º) = sen12º + sen8º 2sen3x.cos5x = sen(3x + 5x) + sen(3x – 5x) = sen8x + sen(–2x) = sen8x – sen2x 2sen10º.cos20º =sen(10º + 20º) + sen(10º – 20º) = sen30º + sen(–10º) = sen30º – sen10º II) Producto de cosenos: Demostración: Partimos de: cos(b + q) = cosb.cosq – senb.senq cos(b – q) = cosb.cosq + senb.senq sumando: cos(b + q) + cos(b – q) = 2cosb.cosq es decir: 2cosb.cosq = cos(b + q) + cos(b – q) 2cosx.cosy = cos(x + y) + cos(x – y) Ejemplos: 2cos3x.cosx=cos(3x + x) + cos(3x – x) = cos4x + cos2x 2cos4b.cosb = cos(4b+b) + cos(4b – b) = cos5b + cos3b III) Producto de senos: Demostración: Sabemos que: cos(a – b) = cosa.cosb + senasenb cos(a + b) = cosa.cosb – senasenb restando: cos(a – b) – cos(a + b) = 2senasenb es decir: 2sena.senb = cos(a – b) – cos(a + b) 2senx.seny = cos(x– y) – cos(x + y) Ejemplos: 2sen4b.senb= cos(4b – b) – cos(4b + b) = cos3b – cos5b 2sen3q.sen2q=cos(3q – 2q)–cos(3q + 2q) = cosq – cos5q Es importante tener presente: Sumatoria de senos y cosenos de ángulos en progresión aritmética Para simplificar sumatorias de senos o cosenos de ángulos en progresión aritmética se deben reconocer: P ® primer ángulo n ® # de términos r ® razón de la P.A. de los ángulos u ® último ángulo luego aplicamos: senP+sen(P+r)+sen(P+2r)+...+senu = cosP+cos(P+r)+cos(P+2r)+...+cosu = Por ejemplo: sen2° + sen4° + sen6° + ... + sen48° P = 2°; n = 24; r = 2°; u = 48° = •cos4° + cos8° + cos12° + ... + cos 48° P = 4°; n = 12; r = 4°; u = 48° = EJERCICIO : Simplificar: A = sen2º + sen4º + sen6º + ...+ sen178º Resolución : En la sumatoria: pero: 89º + 1º = 90º Þ sen89º = cos1º luego: Propiedad: " n Î Z+; impar > 1 EJERCICIO : Calcular: Resolución : En la expresión: la idea es degradar este tipo de sumatorias. En este caso multiplicamos por 2: recuerde que: 2cos2b = 1 + cos2b

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